Mật độ của nguồn phát động lượng s {\displaystyle \mathbf {s} } đã thấy trước đó được trước tiên được cụ thể hóa bằng cách chia nó ra thành hai số hạng mới, một để mô tả các lực mặt và một cho các lực khối, chẳng hạn như trọng lực. Bằng cách kiểm tra các lực tác dụng lên một khối lập phương nhỏ trong một chất lưu, có thể thấy rằng

ρ D u D t = ∇ ⋅ σ + f {\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }

Trong đó σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} là tensor ứng suất Cauchy, và f {\displaystyle \mathbf {f} } là các lực khối hiện diện. Phương trình này được gọi là phương trình động lượng Cauchy và nó mô tả việc bảo tồn động lượng phi tương đối của bất cứ thể liên tục nào bảo tồn khối lượng. σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} là một tensor đối xứng bậc hai được xác định bởi các thành phần hiệp biến của nó. Trong hệ tọa độ trực giao ba chiều nó ​​được biểu diễn như là một ma trận 3x3:

σ i j = ( σ x x τ x y τ x z τ y x σ y y τ y z τ z x τ z y σ z z ) {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}}

trong đó σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} là các ứng suất pháp tuyến và τ {\displaystyle \tau } là các ứng suất cắt. Ma trận này được chia thành hai thành phần:

σ i j = ( σ x x τ x y τ x z τ y x σ y y τ y z τ z x τ z y σ z z ) = − ( p 0 0 0 p 0 0 0 p ) + ( σ x x + p τ x y τ x z τ y x σ y y + p τ y z τ z x τ z y σ z z + p ) = − p I + τ {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}=-pI+{\boldsymbol {\tau }}}

trong đó I {\displaystyle I} là ma trận đơn vị 3 x 3 và τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} là tensor ứng suất lệch (deviatoric stress tensor). Lưu ý rằng áp suất cơ học bằng về độ lớn và trái dấu với ứng suất pháp trung bình: [3]

p = − 1 3 ( σ x x + σ y y + σ z z ) . {\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right).}

Động lực cho việc thực hiện điều này là áp suất thường là một biến cần quan tâm, và điều này cũng giúp đơn giản hoá việc ứng dụng cho các họ chất lưu cụ thể sau này bởi vì tensor phía phải nhất τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} trong phương trình trên phải bằng không nếu chất lưu ở trạng thái tĩnh. Lưu ý rằng là τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} không có Vết (traceless). Phương trình Cauchy bây giờ có thể được viết một cách rõ ràng hơn:

ρ D u D t = − ∇ p + ∇ ⋅ τ + f {\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {f} }

Phương trình này vẫn chưa đầy đủ. Để hoàn thành, người ta phải đưa ra các giả thuyết về hình thức của τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} and p {\displaystyle p} , đó là, người ta cần một định luật cơ sở cho tensor ứng suất của các họ chất lưu cụ thể và cho áp suất. Một vài trong những giả thuyết này dẫn đến các phương trình Euler (động lực học chất lưu), những giả thuyết khác mang lại các phương trình Navier - Stokes. Ngoài ra, nếu dòng chảy được giả định là nén được thì sẽ cần phải có một phương trình trạng thái, phương trình trạng thái này có khả năng sẽ tiếp tục yêu cầu xây dựng công thức bảo toàn năng lượng.